1.7 矩阵的秩

秩是什么

　　在前文中，我们反复提到了**“维数”**这一概念，到了这一讲我们终于能给它一个名字了—— 秩。
　　比如说 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ 中的基底为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 3 \\4 \end{pmatrix}$ ，根据高中学过的向量知识，这对基底可以撑起整个平面，也就是2维空间，所以我们叫它的秩为2。　　　　

那么我们之前反复提到的降维呢？

　　比如看这样的矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ ，由于 $\begin{pmatrix} 3 \\6 \end{pmatrix}$ 是 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ 的三倍，它们只能构成一条直线，二维空间被压缩到了一维，所以它的秩为1。
　　　　
　　单独看矩阵，秩是它其中向量张成的空间的最大维数。而如果把矩阵看成变换系数，很显然，由于系数矩阵是新的“基底”，所以它的秩也就表示变换到几维空间中。

Tips：

当然这里最后结果不一定是系数矩阵的秩，系数矩阵只是保证它会输出到特定维数的空间，比如说可能出现原矩阵只输出到三维空间的一个面上的情况

输入维数和输出维数不同时

　　由于秩描述的是能变换到几维空间：

当输入维数小于输出维数时：那最大就是输入维数，比如说 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\1&0 \end{pmatrix}$ ，输入二维输出三维，但是由于输入是二维的，它也只是输出到了三维空间的一个平面上，所以事实上它还是变换到二维空间中，因此秩是2。
当输入维数大于输出维数时：那最大就是输出维数，输入维数被压缩，比如 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ ，由于输出到二维平面，所以秩也是2。

这里加上最大，同样也是考虑到虽然它是这个维数，但它降维了，和上面类似。

秩的定义与性质

验证书本定义

　　在了解完秩的直观解释之后，我们来看看它与课本上对于秩的定义是否相违。
　　课本上使用了不为零子式的最高阶数来定义秩。
　　我们知道，行列式为0等价于降维了，那不为0的行列式不就是没有降维吗，那最高阶数就是输出到的空间的维数了！

秩的性质与结论

$0\leqslant\mathrm{r}(\boldsymbol{A}_{m\times n})\leqslant\mathrm{min}\{m,n\}.$

　　这条就是上面讲输入维数和输出维数不同讲的，由上面可知，取最小值

初等变换不改变矩阵的秩

　　因为初等变换没有改变维度~

$\mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(A^T)$

　　它只是互换了输入维数和输出维数，秩不会发生变化。

$\mathrm{r}\begin{pmatrix}A & O \\O & B\end{pmatrix}=\mathrm{r}(\boldsymbol{A})+\mathrm{r}(\boldsymbol{B}).$

　　由于 $A$ 和 $B$ 在分块矩阵中不可能发生任何维度上的关联，因此总维度自然就是他们俩的维度之和

与不等式有关的基本性质

设 $A$ 为 $s \times m$ 矩阵, $B$ 为 $s \times n$ 矩阵, 则 $\max\{\mathrm{r}(A),\ \mathrm{r}(B)\} \leq \mathrm{r}(A,\ B) \leq \mathrm{r}(A) + \mathrm{r}(B).$

　　A和B组成的分块矩阵维度上肯定大于等于他们单独的最大值，不用解释。
　　当A和B拼成分块矩阵时，B和A可能会出现基向量共线、共面甚至更高维度的类似共线共面的情况，所以可能会比它们单独的维度加起来少。

设 $A$ , $B$ 均为 $m \times n$ 矩阵，那么 $\mathrm{r}(A + B) \leq \mathrm{r}(A) + \mathrm{r}(B)$ 。

　　这个也很显然，矩阵之和可能会降维。

设 $A$ 为 $s \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times t$ 矩阵，那么 $\mathrm{r}(A B) \leq \min\{\mathrm{r}(A) , \mathrm{r}(B)\}$ 。

　　AB相当于一个输入t维，输出小于等于 $\min(s,\min(n,t) )$ 维的矩阵，因此一定都不大于r(A)和r(B)。
　　直观上看就是压缩了两次肯定比任意其中一次压缩损失的维度更严重（或相同）。
　　注意这里小小跳了个步骤，先经过B的变换再经过A的变换，从B出来后维数小于等于 $\min(t,n)$ ，再经过A变换。

$A,B$ 与上条相同， $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{AB}\right)\geqslant\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}\right)+\mathrm{r}\left(\boldsymbol{B}\right)-n.$

　　同样连起来看AB，只经过B变换的秩为 $r(B)$
　　此时再经过A变换，此时输入A的维数最大为n，而A最终输出的得到的维数是 $r(A)$ ，
　　也就是说，经过 $B$ 变换后的矩阵再经过 $A$ 的变换最多再丢失 $n-r(A)$ 个维数
　　那么总维数最少就是先经过B： $r(B)$ ，再减去经过A最多丢失的维数 $n-r(A)$
　　因此 $r(AB)\geq r(B)-(\ n-r(A)\ )$

关于伴随矩阵

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵， $n\geqslant2.$ 则有

$\operatorname{r}(\boldsymbol{A}^*)=\begin{cases}n,&\operatorname{r}(\boldsymbol{A})=n,\\1,&\operatorname{r}(\boldsymbol{A})=n-1,\\0,&\operatorname{r}(\boldsymbol{A})<n-1.\end{cases}$

当A满秩时

　　有 $|A|≠0$ ，则有 $A^*A=|A|E$ 也就是维数为n的A经过了 $A^*$ 的变换维数还是n!
　　那A^*的维数肯定是啊n！

$r(A)=n-1$ 时

　　此时 $AA^*=O$ 表示经过 $A^*$ 的变换后再经过 $A$ 变换压缩成了0维！
　　由于A的变换最多降低1维
　　所以r(A*)要么是0要么是1
　　但是由于r(A)=n-1,也就是A（n-1）阶有不为0的余子式，说明 $A^*$ 中肯定有非0元素， $r(A^*)$ 不可能为0。

顺带一提：

找着维数理解的思路、证明的思路其实也出来了，像这里两个变换压缩维度，不就是我们前面说的 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{AB}\right)\geqslant\mathrm{r}\left(\boldsymbol{A}\right)+\mathrm{r}\left(\boldsymbol{B}\right)-n.$ 吗

$r(A)<n-1$ 时

　　所有n-1阶的代数余子式都是0, $A^*$ 都全是0了，r自然为0。

　　可以看到秩这边虽然不等式很多，但是理解了直观意义后其实这些不等式都很显然。另外本讲中很多“维数”其实说法很模糊，高等代数里应该有更精确的解释，不过我们面向的也不是数学系哈哈哈我觉得不需要特别精细，只要有一个基本的直观理解就行，比工科线代教学中纯讲公式应该好多了（
　　不过秩这块一些严谨的证明还是很有趣且有必要掌握的，不过和我们这里主线关系不大，可能有空会放到EX章节里讲