1.4 初等变换与初等矩阵

这一篇将会非常精彩！你可以看到前一讲的完美应用！！（这可是我线代课上自己想的哼哼~( ‵▽′)ψ）

1.4.1 初等变换

　　本质方程组的小学加减乘除，不多解释。唯一要留意的就是熟悉等价标准形这个概念。

1.4.2 初等矩阵

　　在这一小节，我们引入了三种初等矩阵：对换矩阵、倍乘矩阵、倍加矩阵。在1.4.1中，我们只是认识了初等变换，事实上如果你完全没学过矩阵语言，只用方程组来描述，其差别并不大。
　　然鹅，当你学会初等矩阵后，你就能用通过初等矩阵的左乘右乘来描述这个变化，就发生了质的改变！我们成功的把自然语言翻译成了数学语言，并且借助矩阵我们可以研究它的代数性质！这也体现了线性代数的意义。
　　可问题是：为什么乘上这么一个矩阵就能代表这样的线性变换呢？答案其实在1.2中已经给出啦！让我们来看一看：

初等行变换

　　我们先来考虑初等行变换的情况，我们知道，两个普通的矩阵相乘的几何意义是有点麻烦的，这个麻烦在于：右侧我们得把它看成一列一列的向量，对每个向量进行变换。
　　However，这里我们研究的是右边矩阵的行是怎么倍加、倍乘、交换的，并不是按照每个向量来考虑。我们想避免这个麻烦，最简单的就是化归成我们最喜欢的一个矩阵乘以一个列向量的变换：
　 $P\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\\ ... \\ x_m \end{bmatrix}$
　　还记得1.3中的分块矩阵吗？我们按行分块就可以形成上面的形式。
　　更重要的是：这样每一个小矩阵，恰恰代表着这一行！！
　　我们只需要观察这些小矩阵，就知道行是怎么变换的
　　因此我们来看一看这三种初等矩阵：
　　

对换矩阵

$E(i,j)= \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 0 & \cdots & 1 \\ & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & 1 & \cdots & 0 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}$

E(i,j)A

表示交换

A

的第i行和第j行

　　理解起来其实很简单：E(i,j)的每一列是一个基向量，“i坐标”乘给了“第j维”的单位向量，“j坐标”乘给了“第i维”的单位向量。
　　而“i坐标”“j坐标”就是右侧的 $x_ix_j$ ，而 $x_ix_j$ 恰恰代表了原先矩阵的第i行和第j行，所以最终的效果就就是交换了 $x_ix_j$ ，把分块矩阵还原就是交换了第i行和第j行。　　

倍乘矩阵

$E(i(k))= \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & k \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}$

　　它表示的是给第i行乘k倍。

　　这个就更好理解了，E(i(k))的第i列代表着第i个坐标新的基向量，把单位1放大k倍，也就是把第i个坐标乘k，对应的就是 $x_i$ 乘k，也就是原先矩阵第i行乘k。

倍加矩阵

$E(i,j(k))= \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & \cdots & k \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}$

E(i,j(k))A

表示

A

的第j行乘k倍加到第i行上　　

　　理解起来和上面两个是一样的，左边第j列原本的基向量上加上了“第i维”k倍单位长度的分量，因此 $x_j$ 乘了k倍加到了“第i维”坐标上，也就是原先矩阵的第j行乘k倍加到第i行上。

　　因此，我们只需要左乘对应的矩阵，就是初等行变换啦！
　　并且，我们都知道线性变换是从右向左运算的，也就是左边的矩阵代表变换规则，右边的代表被变换的，所以把变换顺序记作

1,2,\cdots,s

的话，对

A

进行变换应该写作

P_s\cdots P_2P_1A

，理解了这个就不会死记硬背顺序还容易搞错啦！

初等列变换

　　根据课本我们知道，初等行变换是左乘，初等列变换是右乘。
　　但，why？？？
　　左乘根据我们对于矩阵运算的直观理解，我们知道左边是新的基底，代表着线性变换，那右乘呢？明明右乘的右边是变换规则啊…
　　在我线代课上苦思冥想右乘的意义之时，我的脑中突然蹦出一个想法：

那我把右乘变成左乘不就行了？！

　　而我们恰恰知道，转置恰好可以交换前后的顺序： $(AB)^T=B^TA^T$
　　换个写法，也就是 $AB=(B^TA^T)^T$
　　而转置恰恰表示的就是行列互换
　　因此右乘的列变换，可以先转置变成左乘的行变换，再转置回来得到列变换的结果！！！
　　这个时候我们看初等矩阵，就要把行看作基底。
　　那么我们再看回这三种变换：
　　

对换矩阵

　　由于E(i,j)的第i行就是第i列，所以转置后还是它自己，就是互换i,j列。

倍乘矩阵

同上

倍加矩阵

$E(i,j(k))= \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & \cdots & k \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}$

　　由于此时每一行是基向量，所以原来第j列第i行的k由原来作用在第j行上变成了现在的第i列！换句话说也就是

E(i,j(k))^T=E(j,i(k))

　　因此 $AE(i,j(k))$ 表示 $A$ 的第i列乘k倍加到第j列上

　　那么此时有多个变换的顺序呢？答案就是从左往右：因为待变换的矩阵在左边，所以要从左向右一个个“转置”，很合理吧~

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第1章矩阵