1.0 何为线代

何为「 线性 」

　　相信大家看到《线性代数》这门课的时候，自然就会有一个想法：“线性”指的是什么意思？显然老师也意识到了，于是在第一节课解释说：

　　对于这个答案很多人显然是不满的，我最开始对线性代数的理解就是“向量”，因此我最开始对“线性代数”中“线性”的看法是“可以像向量那样拆分和组合”。
　　但是问题又来了：这句话又是什么意思，凭什么说这是线性？
　　那么我们不妨还是从“线性”这个概念本身出发。
$$f(x)=kx$$
　　天王老子来了这都得是一条过原点的直线
　　那么什么是“线性”呢？
　　根据我们大学之前的理解，什么是线性什么不是线性是很好判断的，比如说$x^2$、$\sin x$这些都不是线性，一个最直观的感受就是他们不是直线，因此$x$变化多少，函数值的变化是不均匀的，也就是说“线性”得满足
　　$$\Delta y=k\Delta x$$
这样它的变化就是均匀的了，是一条直线！当我们考察加法和乘法如何作用时，我们也很容易就能得出线性所要求的性质：

　　那我们回头看一看向量的加法和数乘为什么是线性的：
　　首先两个向量相加，对应的就是他们对应的坐标单独相加；当一个向量进行数乘，相当于它每个坐标乘以这个数。因此，向量确实符合我们这里对“线性”的定义。
　　
　　我们可以带着“线性”的视角观察下面这个方程组：

　　因此，我们也可以说这个方程组是线性的。

线性代数与矩阵

代数是什么

　　代数，字面上看就是“用字母去替代数”，延申一下，就是去揭示、研究计算背后共有的结构和规律。那么线性代数，显然就是在研究符合“线性”的计算了。

矩阵

　　研究是需要工具的，那么矩阵就是研究线性的得力工具。
　　我们知道向量是线性的，因此我们可以把一个横坐标为1，纵坐标为2的向量写成$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$
　　而上文的二元一次方程组也是线性的，我们就可以把上文的方程组变成下面的形式：
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$$
　　因此，很多线性运算都可以用矩阵来表示和理解，同样的，我们在理解矩阵时，也可以在这些观点中来回转换。这样的好处是，我们学习线代，并不是从0开始，而是把他们「 化归 」成我们已经学过的、熟悉的知识上。事实上对于高中数学，绝大部分知识都可以进行化归，这个学习笔记里，我也尝试对线代这么做，或许化归也是理解线代运算的一个利器~

碎碎念

　　哈，终于写完啦。其实很早就想写了但是一直拖到现在(/ω＼)
　　不管怎么样行动起来就好！