1.5 方阵的逆矩阵

1.5.1 逆矩阵的概念

什么是逆矩阵

　　在上一节中，我们讲到了利用矩阵表示线性方程组，在对它进行变换，可是面对形如 $A\vec{x}=B$ 这样的式子，我们怎么把 $\vec{x}$ 求出来，达到解方程组的目的呢？
　　要想明白这个问题，不如回归我们已经很熟悉的几何意义：这个式子表示x经过了A的变换变成了B，反过来说我们想找的就是B在经过A这个变换之前的样子。
　　也就是说，我们需要找到一种变换来撤销A的影响。
　　那“抵消影响”是什么意思呢，很简单，把A变成单位矩阵，自然的，A也可以把它变成单位矩阵！
　　所以我们把这种抵消A影响的变换叫做A的逆，记作 $A^{-1}$ ，也就是
　　 $A^{-1}A=AA^{-1}=E$
　　这个直觉其实很重要，因为下面的很多定理和性质都可以通过这个直觉一眼看出。　　

什么矩阵是可逆的

　　上文中，我们提到矩阵的逆就是把这个变换还原的矩阵。也就是，只要这个变换是可还原的，它就是可逆的！
　　什么样的变换是可以还原的呢？首先，它一定没有压缩维数。
　　例如 $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ ，由于 $(1,2),(-1,-2)$ 这两个向量共线了，因此事实上他会把空间压缩到1维，实现“降维打击”。而问题就在于1维的坐标我们可以找到无数种升维的对应，举个最简单的例子，0可以由 $x(1,2)+x(-1,-2)$ 组合而来，这个 $x$ 我们是无法具体确定的。因此，压缩维数的矩阵一定是没有逆的，我们也会在下一讲知道，这种矩阵的行列式也一定为0。
　　当然，这一类中更为特殊和显然的就是出现了0行的矩阵，显然由于出现了0行，变换后一定会有一个维度的坐标变成0，因此也是压缩了维度。
　　
　　值得注意的是，我们上面其实都在讨论方阵，那非方阵呢？我们知道非方阵的输入和输出空间维数不同，因此当输入高维，输出低维时，我们是找不到撤销的步骤的。而逆矩阵又要求 $AB=BA=E$ ，这就意味着总有一个方向是高维压缩到低维的，所以我们讨论“逆”的范围仅限于方阵。

一些性质

　　在这里我们用非常直观的自然语言解释一些定理和性质，虽然不能代替严谨证明的作用，但是可以帮助我们理解和使用。

可逆的行最简形矩阵为单位矩阵

首先我们知道肯定是方阵，其次不能有零行否则维数降低，结束了

设A与B都是n阶的可逆矩阵，k为不为0的数，则 $A^{-1},A^T,kA$ 以及 $AB$ 都是可逆矩阵，则有

$(A^{-1})^{-1}=A$

　　原来的矩阵就可以撤销逆矩阵的操作，因此逆矩阵的逆矩阵就是原矩阵

$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

　　要证明这个，就是找A转置如何撤销，转置的乘法需要交换位置，但是逆矩阵和位置也没啥关系。我们知道 $A^{-1}A=E$ ，转置后就是 $A^T(A^{-1})^T$ ，所以结束了

$(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$

　　原先扩大了k倍，所以要把k倍缩小回来，就是乘上 $1/k$

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

　　要撤销 $AB$ 的操作，由于线性变换是从右向左看，因此先撤销 $A$ 后撤销 $B$
　　也就是 $B^{-1}(A^{-1}A)B=E$ ，因此 $B^{-1}A^{-1}$ 就是能撤销 $AB$ 操作的变换

1.5.2 初等矩阵与可逆矩阵

　　这里的内容前面几乎都讲过，因此我们直接从定理和推论入手直观的讲解

初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵.

　　由于逆矩阵本质就是撤销对应的操作，初等变换的每一步都是可以撤销的，因此初等矩阵也一定是可以撤销的

方阵 $A$ 为可逆矩阵的充分必要条件是 $A$ 可以写为初等矩阵的乘积.

　　直觉上很容易解释，只要每一步都是可以撤销的，这个操作就一定能撤销，因为只需要一步步撤销回去就行；同时只要它是能被撤销的，我们就可以把它拆成若干个小步骤，也就是进行一步步的初等变换，即拆成一个个初等矩阵

等价的表述就是

矩阵 $A$ 的标准分解

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵，则存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 使

$A=P\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}Q.$
　　由上面的可逆矩阵可以拆成一堆初等矩阵，这里P全做初等行变换，Q全做初等列变换，沃们就把这个化归成了上一讲初等变换与初等矩阵的东西了。
　　
　　同时记住这个东西嘿嘿，注意到 $\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} E_r\\O \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_r&O \end{pmatrix}$ ，后面还会有很有趣的应用哦

1.5.3 利用初等变换求逆矩阵

　　在这一节里主要用到的知识其实是1.5.2里的，因此我就不过多赘述了。

第1章矩阵